Prof.: Marcos Vilela Garcia: Pirâmides

Uma pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e um vértice que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o vértice que une todas as faces laterais é chamado de vértice da pirâmide. O numero de faces laterais de uma pirâmide corresponde ao número de lados do polígono da base. Como exemplo das pirâmides da geometria espacial no dia-a-dia temos as pirâmides do Egito, uma das sete maravilhas do mundo antigo.

Uma pirâmide é classificada como reta quando todas as arestas laterais são congruentes, caso contrário ela é classificada como oblíqua. Uma maneira mais fácil de identificar uma pirâmide reta é quanto o centro da base da pirâmide está alinhado com o vértice superior da pirâmide, em outras palavras, é possível traçar uma reta do vértice ao centro do polígono na base da pirâmide. Uma outra maneira fácil de identificar uma pirâmide oblíqua é quando não existe esse alinhamento do vértice superior com o centro do polígono na base da pirâmide, ou seja, se traçarmos novamente a reta, ela não terminará no centro do polígono da base.

Identificação

Exemplo de Pirâmide Triangular

Dentre as pirâmides temos como principais:

Pirâmide Quadrada - aquela em que na base tem um quadrado.
Pirâmide Triangular - aquela em que na base tem um triângulo .
Pirâmide Quadrante - aquela em que na base tem um Quadrado invertido(na foto ao lado) .

Pirâmide Quadrangular - aquela em que na base tem um quadrado de ponta cabeça.

A identificação das pirâmides segue essa linha de raciocínio, ou seja, depende do formado da linha final do perímetro indicado aos locais de ponto e reta encontrado em uma pirâmide com forma de triângulos perfeito, fazendo assim a forma ser catastrófica se for aplicada de forma errada da pirâmide

Pirâmide regular

Pirâmide regular é uma pirâmide reta cuja base é uma região poligonal limitada por um polígono regular. Um polígono regular pode ser inscrito numa circunferência pegando assim, suas características. Assim, na base de uma pirâmide regular devemos observar certas características:

raio (r)- é a reta traçada do centro do polígono até um dos vértices inferiores.
aresta da base (ab) - corresponde aos lados do polígono da base.
apótema da base (a1) - é a reta traçada do centro do polígono da base até o meio de sua aresta.

Em geral, na pirâmide regular, ainda podemos observar:

altura da pirâmide (H) - é a reta traçada do vértice superior ao centro do polígono
aresta lateral (al) - corresponde a aresta dos lados das regiões triangulares da lateral da pirâmide.
apótema lateral (a2) - é a reta que divide o triângulo da lateral da pirâmide ao meio, formando dois triângulos retângulos simétricos. Ela sai do vértice percorrendo o triângulo lateral, acabando no fim das arestas da base.

Volume de uma Pirâmide

O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:

Volume = (1/3) A(base) h

Exemplo: Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm.
Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos que A(base)=a²=4cm.4cm=16 cm².

A altura h da pirâmide pode ser obtida como a medida de um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pela altura L=6cm da aresta lateral e o outro cateto Q=2×R[2] que é a metade da medida da diagonal do quadrado. Dessa forma h²=L²-Q², se onde segue que h²=36-8=28 e assim temos que h=2R[7] e o volume será dado por V=(1/3).16.2R[7]=(32/3)R[7].

Seção Transversal de uma pirâmide

Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma. A seção transversal tem a mesma forma que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. A razão entre uma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é dita razão de semelhança.

Observações sobre seções transversais:

Em uma pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes. A razão entre a área da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança.
Ao seccionar uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos outra pirâmide menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos à pirâmide original.
Se duas pirâmides têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais, então as seções transversais localizadas à mesma distância do vértice têm áreas iguais.

	V(seção)	Volume da seção até o vértice (volume da pirâmide menor)
	V(piram)	Volume da pirâmide (maior)
	A(seção)	Área da seção transversal (base da pirâmide menor)
	A(base)	Área da base da pirâmide (maior)
	h	Distância do vértice à seção (altura da pirâmide menor)
	H	Altura da pirâmide (maior)

Assim:

V(seção) V(base)	=	A(seção) A(piram)	·	h H

A(seção) A(base)	=	h² H²

Então:

V(seção) V(base)	=	h³ H³

Exemplo: Uma pirâmide tem a altura medindo 9cm e volume igual a 108cm³. Qual é o volume do tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirâmide é 3cm?

Como

V(pirMenor)/V(pirâmide) = h³/H³
V(pirMenor)/108 = 6³/9³
V(pirMenor) = 32

então

V(tronco)=V(pirâmide)-V(pirMenor)= 108cm³-2cm³ = 76 cm³

Exercícios:

1) A base de uma pirâmide é um quadrado de aresta 3 cm. Sabendo que a altura da pirâmide mede 10 cm, calcule a medida do apótema da pirâmide.

2) A figura abaixo representa uma pirâmide quadrangular regular cuja aresta da base mede 10 cm. Determine o valor de “x”.

3) Numa pirâmide hexagonal regular, a aresta da base mede 2 cm. Sabendo-se que a área lateral da pirâmide é 30 cm², calcular o volume da pirâmide.

4) Calcule a aresta de um tetraedro regular de altura

cm.

5) Numa pirâmide de base quandrangular, a medida do perímetro da base é 40 cm. Sabendo que a altura da pirâmide é 12 cm, calcule a área lateral dessa pirâmide.

Questões:

01. (EUMT - LONDRINA) O volume de ar contido em um galpão com a forma e as dimensões dadas pela figura abaixo é:

a) 300
b) 240
c) 225
d) 210
e) 180

02. (FEI - MAUÁ) Secciona-se uma pirâmide regular de altura h por um plano paralelo à base, a uma distância x do vértice. Pede-se x de modo que a áreas laterais da pirâmide se altura x e do tronco de pirâmide de altura h - x sejam iguais.

03. (MAUÁ) Dado o Tetraedro de aresta L, determine, em função de L, o volume V do cone circular circunscrito, isto é, do cone que tem vértice do Tetraedro e base circunscrita à face do Tetraedro.

04. (MAUÁ) Dado um Tetraedro regular de aresta L, determine, em função de L, a área lateral A do cilindro reto circunscrito, isto é, do cilindro que tem uma base circunscrevendo uma face do Tetraedro e altura igual à altura do Tetraedro.

05. (LONDRINA) O tetraedro regular ABCD tem centro O. O ângulo diedro de faces OAB e OAC mede:

a) 30°
b) 60°
c) 120°
d) 135°
e) 150°

06. (SJRP - JUNDIAI) Os vértices de um tetraedro regular de volume 1m³ são centros das faces de outro tetraedro regular. O volume deste outro tetraedro vale:

a) 1 m³
b) 3m³
c) 9m³
d) 27m³
e) 81m³

07. (MAUÁ) Na pirâmide VABC os ângulos AVB, BVC e CVA são retos. Calcular a distância de V ao Plano ABC sabendo-se que VA = VB = VC = 1m.

08. (OSEC) Um prisma e uma pirâmide tem bases com a mesma área. Se o volume do prisma é o dobro do volume da pirâmide, a altura da pirâmide será:

a) O triplo da do prisma.
b) O dobro da do prisma.
c) O triplo da metade da do prisma.
d) O dobro da terça parte da do prisma.
e) n.d.a

09. (UnB) Sejam Pi e P2 duas pirâmides de mesma altura. A base de Pi é um quadrado e a de P2 um triângulo de área igual a do quadrado. Então, a área lateral de Pi é:

a) sempre maior do que a de P2;
b) sempre menor do que a de P2;
c) sempre igual a de P2;
d) n.d.a.

Resolução:

01. B

02.