Prof.: Marcos Vilela Garcia: Esferas

A esfera pode ser definida como "um sólido geométrico formado pelo conjunto de pontos contidos num espaço P e C (centro), em que a distância do centro ao ponto P seja menor ou igual ao raio dessa esfera, ou semelhante ao ponto C . A esfera também pode ser vista como um sólido de revolução, obtido pela rotação completa de um semicírculo em torno do eixo que contém um diâmetro, isso se chama semicircuferência, que também pode ser realizado em outros tipos de formas geometrica.

Uma esfera é um objeto dimensional perfeitamente simétrico. Na matemática, o termo se refere à superfície de uma rolha ou de uma terra. Na física, esfera é um coiso (usado muitas vezes por causa de sua simplicidade ou educado) capaz de colidir em outros objetos que ocupam espaço. Uma curiosidade que todos devem saber é que nem todo objeto redondo é uma esfera, ou seja , aquele que não tem nada dentro de si não é uma esfera é apenas uma demostração tipo bola de futebol, e exemplo de esfera é a terra , pois ela não é oca.

Quanto a geometria analítica, uma esfera é representada (em coordenadas retangulares) pela equação:

(x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 = r 2

em que a, b, c são os deslocamentos nos eixos x, y, z respectivamente, e r é o raio da esfera.

Área e Volume

hemisfério ou semi-esfera

A área de uma superfície esférica é:

$\!A = 4\pi r^2$

O volume de uma esfera é dado pela fórmula

$\!V = \frac{4}{3}\pi r^3$

onde r é o raio da esfera e π é a constante pi.

Calota x Segmento Esférico

Parte azul: calota; parte branca: segmento esférico.

Calota seria metaforicamente "a tampa de uma laranja", demonstrada pela parte azul no desenho.

Área da calota:

$Ac = 2 \pi \cdot r \cdot h$

Área do Segmento Esférico:

A s = A t - A c

Em que, As é a área do segmento, At área total da esfera e, Ac área da calota.

O volume do segmento é:

$V = {\pi \cdot h^2 \over 3} \cdot (3 \cdot R - h)$

Fuso x Cunha

Em azul é o fuso, em cinza é a cunha.

Fuso é uma parte da esfera, podendo ser representada por "goma de mexirica" (metaforicamente).

Área do fuso:

$Af = {\alpha \over 360} \cdot 4 \pi \cdot r^2$

α

é o ângulo do fuso.

O volume da cunha é:

$Vc = {\alpha \over 360} \cdot {4 \over 3} \cdot \pi r^3$

Volume

O volume de uma semi-esfera é igual a soma dos volumes de discos, concêntricos e de espessura infinitesimal, empilhados ao longo do eixo x, de x = r (y = 0) até x = 0 onde o disco tem raio r (y = r).

Num dado x, o volume incremental (δV) é dado pelo produto da área transversal no ponto x pela largura (δx):

$\!\delta V \approx \pi y^2 \cdot \delta x.$

O volume da semi-esfera é o somatório de todos os volumes dos discos infinitesimais.

$\!V_{\frac{1}{2}} \approx \sum \pi y^2 \cdot \delta x.$

No limite em que δx se aproxima de zero fica:

$\!V_{\frac{1}{2}} = \int_{x=0}^{x=r} \pi y^2 dx.$

Num dado x, um triângulo retângulo conecta x, y e r à origem, e pelo teorema de Pitágoras:

$\!r^2 = x^2 + y^2.$

Substituindo y:

$\!V_{\frac{1}{2}} = \int_{x=0}^{x=r} \pi (r^2 - x^2)dx.$

Calculando o integral:

$\!V_{\frac{1}{2}} = \pi \left[r^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{x=0}^{x=r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) = \frac{2}{3}\pi r^3.$

Que é o valor da semi-esfera. Dobrando este valor temos o volume total da esfera:

$\!V = \frac{4}{3}\pi r^3.$

Área

Uma vez provado o volume, podemos demostrar a área da superfice a partir deste resultado:

$\frac{4}{3}\pi r^3 = \int_{0}^{r}A(r) dr.$

Derivando os dois lados da equação em relação a r:

$\!4\pi r^2 = A(r).$

Que pode ser abreviada como:

$\!A = 4\pi r^2.$

A área também pode ser obtida usando coordenadas esféricas. Um elemento de área da esfera, em coordenadas esféricas é dado por:

$dA = r^2 \sin\theta\, d\theta\, d\phi.$

Portanto a área total será:

$A = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi = 4\pi r^2.$

Equação da esfera em R³

Em geometria analítica, uma esfera com centro (x₀, y₀, z₀) e raio r é o lugar geométrico tal que:

$\, (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.$

Na forma parametrizada

$\, x = x_0 + r \sin \theta \; \cos \varphi$

$\, y = y_0 + r \sin \theta \; \sin \varphi \qquad (0 \leq \varphi \leq 2\pi \mbox{ e } 0 \leq \theta \leq \pi ) \,$

$\, z = z_0 + r \cos \theta \,$

Contribuição do estudo da esfera

O estudo da esfera geométrica, contribuiu bastante para desenvolvimentos eletronicos, mecanicos e mecatronicos, com seu estudo avançado sober a esfera, realizamos varios feitos, como calcular algo de mesma semelhança como o nosso próprio planeta, e participar de grandes construções como satélites espaciais, antenas parabólicas que emitem sinais e transmitem sinais semelhantes a ondas esfereograficas, e também teve contribuição em ciração de mapas, no qual a ANVISA e a NASA utilizam para mapas aéreos e espaciais para criar linhas e transportes aéreos, maquetes e cupulas são feitas a base de seu estudo para serem construidas, sem o estudo dessa forma geometrica não seria possivel desenvolver todas as tecnologias citadas, e teriamos um grande atraso tecnoloigco, pois a tecnologia depende bastante, não só dela mais de quase todas as formas geometricas possiveis.

Exercícios

http://www.supletivounicanto.com.br/docs/cd/Matem%E1tica/3%B0%20ano/08-esfera.pdf

01) Qual o volume de uma esfera de 30 cm de raio?

02) Uma esfera está inscrita num cubo cuja aresta mede 20 cm. Calcule a área da superfície esférica.

03) Tomando o raio da Terra 6400 km, calcule a área do “Globo” terrestre, em km².

04) Duas esferas de chumbo, uma de 3 cm e outra de 6 cm de raio, fundem-se e formam outra esfera. Calcule o raio dessa nova esfera.

05) Calcule o volume de uma esfera de 100p cm² de área.

06) Determine a área de uma esfera, sendo 2304p cm³ o seu volume.

07) Uma esfera tem 25p cm² de superfície. Em quanto devemos aumentar o raio para que a área passe a ser 64p cm²?

08) Qual é a área total e o volume de um recipiente semi-esférico de raio 3 cm?

09) Determine o volume de uma esfera cuja superfície tem uma área de 324p cm².

10) Calcule o volume de uma esfera cuja superfície tem uma área de 144p cm².

11) Quantos brigadeiros (bolinhas de chocolate) de raio 0,5 cm podemos fazer a partir de um brigadeiro de raio 1 cm?

12) Duas bolas metálicas, cujos raios medem 1 cm e 2 cm, são fundidas e moldadas em forma de um cilindro cuja altura mede 3 cm. Obtenha a medida do raio da base do cilindro.

13) Determinar o raio de uma esfera, sabendo que um plano determina na esfera um círculo de raio 20 cm, sendo de 21 cm a distância do plano ao centro da esfera.

14) O raio de uma esfera mede 53 cm. Um plano que secciona essa esfera determina nela um círculo de raio 45 cm. Determinar a distância do plano ao centro da esfera.

15) Determinar o diâmetro de um círculo cuja área é igual à superfície de uma esfera de raio r.

16) Determine o raio de uma esfera de superfície 36p cm².

17) Determinar a área do círculo da esfera cujas distâncias polares são de 5 cm e 3 cm.

18) Calcular a área de uma secção plana feita a uma distância de 12 cm do centro de uma esfera de 37 cm de raio.

19) Calcular a distância de uma secção plana de uma esfera ao centro da esfera sabendo que o círculo máximo tem área igual ao quádruplo da área determinada pela secção plana, e que o raio da esfera mede 17 cm.

20) O raio de uma esfera mede 41 cm. Determinar a razão entre as áreas das secções obtidas por dois planos, sendo de 40 cm e 16 cm a distâncias respectivas desses planos ao centro da esfera.

21) Determinar a área e o volume de uma esfera de 58 cm de diâmetro.

22) Calcular a distância polar de um círculo máximo de uma esfera de 34 cm de diâmetro.

23) Determinar o raio de uma esfera sendo 288p cm³ o seu volume.

24) Determinar a medida da superfície e do volume de uma esfera, sabendo que o seu raio mede 1/5 do raio de outra esfera cujo volume é 4500p cm³.

25) Determinar a medida do raio de um círculo máximo de uma esfera sabendo que o raio de um círculo menor desta mesma esfera mede 12 cm e que a distância polar deste círculo menor mede 15 cm.

26) Determinar a medida do raio de uma esfera sabendo que o raio de um círculo menor mede 5 cm e que sua distância polar mede 13 cm.

27) Uma bola de ouro de raio r se funde transformando-se em um cilindro de raio r. Determinar a altura do cilindro.

28) Um cone é equivalente a um hemisfério de 25 cm de diâmetro. Determinar a área lateral do cone sabendo que as bases do cone e do hemisfério são coincidentes.

29) Um sólido é formado por dois cones retos de volumes iguais, tendo como base comum um círculo de 6 cm de raio. A área do sólido é igual a superfície de uma esfera de raio 6 cm. Determinar a relação entre os volumes do sólido e da esfera.

30) Os raios de duas esferas concêntricas medem, respectivamente, 15 cm e 8 cm. Calcular a área da secção feita na esfera de raio maior por um plano tangente à outra esfera.

31) Determinar o diâmetro de uma esfera obtida da fusão de duas esferas de 10 cm de diâmetro.

32) Sabendo que o diâmetro de uma esfera é 3/5 do diâmetro de uma outra esfera, calcule a razão entre as áreas dessas duas esferas.

33) O que ocorre com o volume de uma esfera quando duplicamos a medida de seu raio? E quando triplicamos a medida do seu raio?

exercícios de fixação

1) Deseja-se construir um reservatório de água na forma de uma semi-esfera, em um terreno de dimensões 30 m por 40 m. O reservatório deverá ocupar 30% da área deste terreno. Calcule o volume de água em litros que poderão ser armazenados neste reservatório.

2) Calcule o volume de uma esfera inscrita em um cubo de área lateral igual a 64 m².

3) Encontre a relação entre o raio de uma esfera e a altura de um cilindro eqüilátero sabendo que a área total do cilindro é igual à da esfera.

4) Calcular a área de uma esfera sabendo que o perímetro do hexágono regular inscrito em um de seus círculos máximos mede 30 cm.

5) Calcular o volume de uma esfera circunscrita a um cone eqüilátero cuja altura mede 16 dm.

6) Um cilindro circular reto tem sua superfície total equivalente à superfície lateral de um prisma oblíquo cuja secção reta é um pentágono regular de lado igual a 3 m e a aresta lateral, 4p/3 m. Sabe-se que o perímetro da secção meridiana do cilindro vale 14 m. Qual o raio da base do cilindro?

7) Considere um retângulo, de altura y e base x, com x>y, e dois semicírculos com centros nos lados do retângulo. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sombreada em torno de um eixo que passa pelos centros dos semicírculos.

8) Uma esfera de raio 10 cm é interceptada por um plano que dista 6cm de seu centro. Qual o comprimento da circunferência gerada pela interseção?

9) Uma laranja de 12 gomos iguais assemelha-se a uma esfera de raio R. Qual a área da superfície total de cada gomo?

10) Um cubo de aresta 10 cm tem os quatro vértices A, B, C e D de uma de suas faces, F, sobre a superfície de uma esfera S de raio r. Sabendo que a face oposta a F é tangente à esfera S no ponto P, calcule o raio r.

11) Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r, raio da base r e espessura desprezível. Calcule a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas.

12) Determine a razão entre os volume de uma esfera de raio R e o de um cubo nela inscrito.

1)
se o comprimento (ou perimetro do circulo) é igual a 2 . pi, então:

raio( r ) 2 . pi . r = 2 . pi
r = 1cm

calculamos o raio da secção
agora para calcular o raio( R ) da esfera, devemos usar o teorema de
Pitagoras relacionando o raio da secção, raio da esfera e a distancia
entre o centro da esfera e o plano alfa que secciona a esfera.

R² = 1² + (2 . raiz de 2)²
R² = 1 + 4 . 2
R² = 9
R = 3 cm

3) igualmente ao exercício acima, devemos aplicar a fórmula de pitágoras:

20² = 12² + r²
r² + 144 = 400
r² = 256
r = 16 cm

o exercicio pede a área da secçaõ ,que é um circulo
Logo temos:

16² . pi = 256 . pi cm²

Referências:

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/esfera/esfera.htm

http://pt.wikipedia.org/wiki/Esfera

http://www.infopedia.pt/$esfera-%28geometria%29

http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial23.php

http://sites.google.com/site/matematicanasoitavas/system/app/pages/search?q=esferas&scope=search-site

http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=556

http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=554