Uma Curiosidade: Teorema do Sanduíhe

O que é? Por que existe?
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Teorema do confronto (Sanduíche)

O chamado teorema do confronto estabelece a existência do limite de uma sequência/sucessão numérica ou função real contanto que esteja limitada entre duas sequências/sucessões ou funções convergentes para o mesmo limite.
Este teorema também é chamado de teorema do/da sanduíche , porque a sequência ou função se comporta como uma fatia de carne ensanduichada entre dois pedaços de pão.

Assista ao vídeo:



Teorema do confronto para sequências (Teorema das sucessões enquadradas)



Sejam a_n\,, b_n\, e c_n\, sequências de números reais tais que:

  • \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L\,

  • a_n\leq b_n\leq c_n\,

Então, b_n\, é uma sequência convergente e ainda:

  • \lim_{n\to\infty}b_n=L\,

Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas)

Sejam f(x)\,, g(x)\, e h(x)\, funções reais definidas em um domínio D\subseteq\mathbb{R}\, e seja a\, um ponto (finito ou não) deste domínio, tais que:

  • \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L\,

  • f(x)\leq g(x)\leq h(x)\,

Então existe o limite:

  • \lim_{x\to a}g(x)=L\,

Exemplo (com x\in\mathbb{R})

Gráfico alusivo ao teorema do confronto.
Considere os gráficos à direita das funções \frac{1}{x^2} (azul escuro), \frac{\sin x}{x^2} (cinzento tracejado) e -\frac{1}{x^2} (azul ciano).
Quando x tende para infinito (positivo) a função \frac{\sin x}{x^2} fica "ensanduichada" pelas outras duas funções.

Este comportamento traduz-se analiticamente por:

\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}=\lim_{x\to +\infty} -\frac{1}{x^2}=0\,

E como:

-\frac{1}{x^2}\leq \frac{\sin x}{x^2}\leq \frac{1}{x^2}\,,

Conclui-se que:

\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin x}{x^2}=0\,

O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável x (nesse caso, x\in\mathbb{N}).

 

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