Prof.: Marcos Vilela Garcia: Equações Concursos

Dominando Equações Parte I

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Equações

O primeiro indício do uso de equações está relacionado, aproximadamente, ao ano de 1650 a.C., no documento denominado Papiro de Rhind, adquirido por Alexander Henry Rhind, na cidade de Luxor - Egito, em 1858. O papiro de Rhind também recebe o nome de Ahmes, um escriba que relata no papiro a solução de problemas relacionados à Matemática.

Os gregos deram grande importância ao desenvolvimento da Geometria, realizando e relatando inúmeras descobertas importantes para a Matemática, mas na parte que abrangia a álgebra, foi Diofanto de Alexandria que contribuiu de forma satisfatória na elaboração de conceitos teóricos e práticos para a solução de equações.
Diofanto foi considerado o principal algebrista grego, há de se comentar que ele nasceu na cidade de Alexandria localizada no Egito, mais foi educado na cidade grega de Atenas. As equações eram resolvidas com o auxílio de símbolos que expressavam o valor desconhecido. Observe o seguinte problema:

“Aha, seu total, e sua sétima parte, resulta 19”.
Note que a expressão Aha indica o valor desconhecido, atualmente esse problema seria escrito com o auxílio de letras, as mais comuns x, y e z. Veja a representação do problema utilizando letras: x + x/7 = 19.

Introdução às equações de primeiro grau

Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.

Sentença com palavras	Sentença matemática
2 melancias + 2Kg = 14Kg	2 x + 2 = 14

Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a Matemática se posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações.

Equações do primeiro grau em 1 variável

Trabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações importantes. Observe a balança:

A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?

2 melancias + 2Kg = 14Kg

Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:

2x + 2 = 14

Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil e aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples.

Podemos ver que toda equação tem:

Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incognitas;
Um sinal de igualdade, denotado por =.
Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda;
Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.

No link Expressões Algébricas, estudamos várias situações contendo variáveis. A letra x é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa desconhecida e equação tem o prefixo equa que provém do Latim e significa igual.

2 x + 2	=	14
1o. membro	sinal de igualdade	2o. membro

As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.

Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.

2x + 2 = 14	Equação original
2x + 2 - 2 = 14 - 2	Subtraímos 2 dos dois membros
2x = 12	Dividimos por 2 os dois membros
x = 6	Solução

Observação: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.

Exemplos:

A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:
```
c + a = 22
c + (c - 4) = 22
2c - 4 = 22
2c - 4 + 4 = 22 + 4
2c = 26
c = 13
```
Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.
A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?
Solução: Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever:
```
a + b = 100.000
3b + b = 100.000
4b = 100.000
b = 25.000
```
Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: a=3×25.000=75.000 habitantes.
Uma casa com 260m² de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m²?
Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.
```
3x + 140 = 260
3x = 260 -140
3x = 120
x = 40
```
Resposta: Cada quarto tem 40m².

Exercícios: Resolver as equações

1. 2x + 4 = 10
2. 5k - 12 = 20
3. 2y + 15 - y = 22
4. 9h - 2 = 16 + 2h

Desigualdades do primeiro grau em 1 variável

Relacionadas com as equações de primeiro grau, existem as desigualdades de primeiro grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais:

<	menor
>	maior
<	menor ou igual
>	maior ou igual

Nas desigualdades, o objetivo é obter um conjunto de todas os possíveis valores que pode(m) assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.

Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais vale a desigualdade:

2x + 2 < 14

Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos:

Passo 1	2x + 2 < 14	Escrever a equação original
Passo 2	2x + 2 - 2 < 14 - 2	Subtrair o número 2 dos dois membros
Passo 3	2x < 12	Dividir pelo número 2 ambos os membros
Passo 4	x < 6	Solução

Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números inteiros positivos menores do que 6:

S = {1, 2, 3, 4, 5}

Exemplo: Para obter todos os números pares positivos que satisfazem à desigualdade

2x + 2 < 14

obteremos o conjunto solução:

S = {2, 4}

Observação: Se há mais do que um sinal de desigualdade na expressão, temos várias desigualdades "disfarçadas" em uma.

Exemplo: Para determinar todos os números inteiros positivos para os quais valem as (duas) desigualdades:

12 < 2x + 2 < 20

poderemos seguir o seguinte processo:

12	<	2x + 2	<	20	Equação original
12 - 2	<	2x + 2 - 2	<	20 - 2	Subtraímos 2 de todos os membros
10	<	2x	<	18	Dividimos por 2 todos os membros
5	<	x	<	9	Solução

O conjunto solução é:

S = {6, 7, 8, 9}

Exemplo: Para obter todos os números inteiros negativos que satisfazem às (duas) desigualdades

12 < 2x + 2 < 20

obteremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é:

S = Ø = { }

Desigualdades do primeiro grau em 2 variáveis

Uma situação comum em aplicações é aquela em que temos uma desigualdade envolvendo uma equação com 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 incógnitas x e y. Uma forma geral típica, pode ser:

a x + b y < c

onde a, b e c são valores dados.

Exemplo: Para obter todos os pares ordenados de números reais para os quais:

2x + 3y > 0

observamos que o conjunto solução contém os pares:

(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1), (1,-1), ...

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

(1) Traçamos a reta 2x+3y=0;

(2) Escolhemos um par ordenado, como (1,1), fora da reta;

(3) Se (1,1) satisfaz à desigualdade 2x+3y>0, colorimos a região que contém este ponto, caso contrário, colorimos a região que está do outro lado da reta.

(4) A região colorida é o conjunto solução para a desigualdade.

Exercícios

Exercícios de Equações de 1º Grau

1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?

2) Resolva as equações a seguir:

a)18x - 43 = 65

b) 23x - 16 = 14 - 17x

c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20

d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x² + 12

e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4

f) 4x (x + 6) - x² = 5x²

3) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.

4) Resolver as seguintes equações (na incógnita x):

a) 5/x - 2 = 1/4 (x 0)

b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc

Exercícios Resolvidos:

1) Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?

Solução:
n + n/2 = 150
2n/2 + n/2 = 300/2
2n + n = 300
3n = 300
n = 300/3
n = 100
Resposta: Esse número é 100.

2) A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 36. Qual é esse número?

Solução:
x - x/5 = 36
(5 x - x)/5 = 36
4x /5 = 36
4x = 36.5
4x = 180
x = 180/4
x = 45
Resposta: Esse número é 45.

3) O triplo de um número é igual a sua metade mais 20. Qual é esse número?

Solução:
3 m = m/2 + 20
6m/2 = (m+40)/2
6m = m + 40
6m - m =
5m = 40
m = 40/5
m = 8
Resposta: Esse número é 8.

4) O triplo de um número, mais 5, é igual a 254. Qual é esse número?

Solução:
3p + 5 = 254
3p = 254 - 5
3p = 249
p = 249/3
p = 83
Resposta: Esse número é 83.

5) O quádruplo de um número, diminuído de três, é igual a 99. Qual é esse número ?

6) Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idades será 72 anos?

7) Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e de carros.

8) A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 75. Quantos objetos há na caixa?

9) Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 90 empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?

10) Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de bolas brancas. Se tirarmos 4 brancas e 24 pretas, o número de bolas de cada cor ficará igual. Qual a quantidade de bolas brancas?

11) Como devo distribuir R$ 438,00 entre três pessoas, de modo que as duas primeiras recebam quantias iguais e a terceira receba o dobro do que receber as duas primeiras?

12) Ao triplo de um número foi adicionado 40. O resultado é igual ao quíntuplo do número. Qual é esse número?

Exemplos:1º) 2x + 1 = 7
3 é a única raiz, então S = {3}

2º) 3x – 5 = –2
1 é a única raiz, então S = {1}

2. Resolução de uma Equação

Resolver uma equação é determinar todas as raízes da equação que pertencem a um conjunto previamente estabelecido, chamado conjunto universo.

1º) Resolver a equação:

x² = 4 em R

As raízes reais da equação são –2 e +2, assim:

2º) Resolver a equação:

x² = 4 em N

A única raiz natural da equação é 2, assim:

Na resolução das equações, podemos nos valer de algumas operações e transformá-las em equações equivalentes, isto é, que apresentam o mesmo conjunto solução, no mesmo universo.
Vejamos algumas destas propriedades:
P1) Quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, esta permanece verdadeira.

Consequência:

Observemos a equação:

x + 2 = 3

Subtraindo 2 nos dois membros da igualdade, temos:

x + 2 = 3 x + 2 -2 = 3 - 2

Assim:

x + 2 = 3 x = 1

P2) Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma igualdade por um número diferente de zero, a igualdade permanece verdadeira.

Consequência:

Observemos a equação:

–2x = 6

Dividindo por –2 os dois membros da igualdade, temos:

Assim:

-2x = 6 x = -3

3. Equação do 1º Grau

Chamamos de equação do 1º grau as equações do tipo:

onde a e b são números conhecidos com a 0.

Exemplo:

3x – 5 = 0 (a = 3 e b = –5)

Para resolvermos uma equação do 1º grau, devemos isolar a incógnita em um dos membros da igualdade, usando as propriedades P1 e P2 do item anterior.

Exemplo:

3x – 5 = 0

3x - 5 3x - 5 + 5 = 0 + 5

3x - 5 = 0 3x = 5

3x = 5

Assim: 3x - 5 = 0

De modo abreviado, fazemos:

3x - 5 = 0 3x = 5

Assim:

Podemos estabelecer uma fórmula para resolver em R a equação:

Assim:

ax + b = 0 ax = -b

Exemplo:

Resolver em R a equação:

2x + 5 = 0

4. Problemas do 1º Grau

Problema é uma proposição a resolver, na qual figuram elementos conhecidos ou supostamente conhecidos, chamados dados, e elementos desconhecidos, chamados incógnitas.
Resolver um problema é determinar os valores das incógnitas que satisfazem às condições impostas pelo enunciado.
A resolução de um problema possui três fases:

1) Colocar o problema em equação;
2) Resolver a equação ou equações do problema;
3) Interpretar os resultados ou fazer uma discussão sobre eles.

Exercícios Resolvidos

Resolver as equações:

01. 3x – 5 = 2x + 6
Resolução

3x – 2x = 6 + 5
x = 11
S = {11}

02. 2 (x + 3) + 3 (x – 1) = 7 (x + 2)

Resolução

2x + 6 + 3x – 3 = 7x + 14
2x + 3x – 7x = 14 + 3 – 6
–2x = 11