Prof.: Marcos Vilela Garcia: Matemática e Música

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Do ponto-de-vista acústico, os sons utilizados para produção de música (excetuando os sons de alguns instrumentos de percussão) possuem determinadas características físicas, tais como oscilações bem definidas (freqüências) e presença de harmônicos. Entende-se, no caso, por oscilações bem definidas o fato de que um som musical, na grande maioria das vezes, ocorre de forma sustentada (pouco ou muito), de maneira que sua característica de oscilação se mantém por alguns ou muitos ciclos, diferentemente dos ruídos e outros sons não musicais.

No que diz respeito à presença de harmônicos cabe lembrar que a maioria dos sons musicais não ocorre apenas em seu modo mais simples de vibração (modo fundamental), pois são compostos sempre deste modo (fundamental) e de mais outros, chamados de modos harmônicos, que nada mais são do que o corpo vibrante oscilando também com freqüências múltiplas inteiras (x2, x3, x4, etc) da freqüência do modo fundamental.

Os teóricos da música com frequência usam a matemática para entender a estrutura musical e comunicar novas maneiras de ouvir música. Isto levou a aplicações musicais da teoria dos conjuntos, álgebra abstrata e teoria dos números. Os estudiosos da música também usaram a matemática para entender as escalas musicais, e alguns compositores incorporaram a proporção áurea e o número de Fibonacci em seu trabalho.^[1]

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Conexões com a teoria dos conjuntos

A teoria musical dos conjuntos usa alguns dos conceitos da teoria matemática dos conjuntos para organizar os objetos musicais e descrever suas relações.

Para analisar a estrutura de uma peça musical (tipicamente de atonal) usando a teoria musical dos conjuntos, começa-se geralmente com um conjunto de sons, que podem formar motivos ou acordes. Aplicando operações simples como transposição e inversão descobre-se estruturas profundas na música. Esse tipo de operação é chamado de isometria, porque preserva os intervalos entre sons num conjunto.

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Conexões com a álgebra abstrata

Partindo dos métodos da teoria musical dos conjuntos, muitos teóricos expandiram para o uso da álgebra abstrata na análise musical. Por exemplo, as notas em uma oitava de temperamento igual formam um grupo abeliano com 12 elementos. É possível descrever o temperamento justo em termos de um grupo abeliano livre^[2].

Alguns teóricos propuseram aplicações musicais de conceitos algébricos mais sofisticados. O matemático Guerino Mazzola aplicou a teoria topos à música, mas o resultado é controvertido.

A escala cromática tem uma ação livre e transitiva de $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ , com a ação sendo definida via transposição de notas. Logo, a escala cromática pode ser vista como um torsor para o grupo $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ .

[editar] Conexões com a teoria dos números

A interpretação moderna do temperamento justo é inteiramente baseada no teorema fundamental da aritmética.

A proporção áurea e o número de Fibonacci

Acredita-se que alguns compositores escreveram sua música usando a proporção áurea e os números de Fibonacci para auxiliá-los.^[3]. Para o ouvinte, no entanto, não é possível determinar o quanto esse uso é intencional ou inconsciente.

Ernő Lendvai analisa os trabalhos de Béla Bartók como baseados em dois sistemas opostos: a proporção áurea e a escala acústica. Em Música para cordas, percussão e celesta, a progressão do xilofone no começo do terceiro movimento ocorre nos intervalos 1:2:3:5:8:5:3:2:1. O compositor francês Eric Satie usou a proporção áurea em Sonneries de la Rose Croix e outra peças, o que deu a sua música um senso de simetria.

A proporção áurea é notada também na organização das seções da música Reflets dans l'eau de Images pour piano, de Claude Debussy, organizada segundo intervalos de 34, 21, 13 e 8 (uma sequência de Fibonacci descendente), e o clímax se situa na posição φ.

Sistemas de afinação

Uma escala musical é um seqúência discreta de sons usados para fazer ou descrever música. A escala tem um intervalo de repetição, normalmente a oitava. Isto significa que para cada nota na escala temos um som correspondente uma oitava acima e uma oitava abaixo, apesar dos limites do ouvido humano para eles. Como estamos geralmente interessados nas relações ou razões entre as alturas (conhecidas como intervalos e não nas alturas precisas em si mesmas para descrever a escala, é comum nos refirmos a todas as alturas da escala em termos de sua razão a partir de uma altura particular, à qual é dada o valor um (escrita geralmente 1/1 quando se discute a entonação justa). Esta nota pode, mas não necessariamente, ser uma que funcione como tônica da escala. Para afinações que usam números irracionais (i.e., temperamentos), ou para comnparação do tamanho de intervalos, usa-se geralmente os cents.

Afinação pitagórica

Entonação justa

Nota	Razão	Intervalo
0	1:1	uníssono
1	135:128	segunda menor
2	9:8	segunda maior
3	6:5	terça menor
4	5:4	terça maior
5	4:3	quarta perfeita
6	45:32	trítono diatônico
7	3:2	quinta justa
8	8:5	sexta menor
9	27:16	sexta maior pitagórica
10	9:5	sétima menor
11	15:8	sétima maior
12	2:1	oitava

Matemática das escalas musicais

Temperamento igual

Amostras de sons

Frequência e altura

Percepção

Nota	Frequência (Hz)	Frequência Distância da nota anterior	Log frequência log₂ f	Log frequência Distância da nota anterior
lá₂	110.00	N/A	6.781	N/A
lá₂#	116.54	6.54	6.864	0.0833 (or 1/12)
si₂	123.47	6.93	6.948	0.0833
dó₂	130.81	7.34	7.031	0.0833
dó₂#	138.59	7.78	7.115	0.0833
ré₂	146.83	8.24	7.198	0.0833
ré₂#	155.56	8.73	7.281	0.0833
mi₂	164.81	9.25	7.365	0.0833
fá₂	174.61	9.80	7.448	0.0833
fá₂#	185.00	10.39	7.531	0.0833
sol₂	196.00	11.00	7.615	0.0833
sol₂#	207.65	11.65	7.698	0.0833
lá₃	220.00	12.35	7.781	0.0833

Identidade harmônica	Nome comum	Exemplo	Múltiplo de Freq. Fundamental	Razão (esta identidade/última oitava)
1	Fundamental	lá₂ - 110Hz	1x	1/1 = 1x
2	Oitava	lá₃ - 220 Hz	2x	2/1 = 2x (also 2/2 = 1x)
3	Quinta Perfeita	mi₃ - 330 Hz	3x	3/2 = 1.5x
4	Oitava	lá₄ - 440 Hz	4x	4/2 = 2x (also 1x)
5	Terça Maior	dó#₄ - 550 Hz	5x	5/4 = 1.25x
6	Quinta Perfeita	mi₄ - 660 Hz	6x	6/4 = 1.5x
7	"Sétima Perfeita"	sol#₄ - 770 Hz	7x	7/4 = 1.75x
8	Oitava	lá₅ - 880 Hz	8x	8/4 = 2x (also 1x)

Identidade Harmônica	Nome comum	Ponto Linear Escala Exponential	Ponto Linear Escala Normalizada (linear)
1	fundamental	1/1 = 1x	log₂(1.0) = 0.00
2	oitava	2/1 = 2x	log₂(2.0) = 1.00
3	quinta perfeita	3/2 = 1.5x	log₂(1.5) = 0.585
4	oitava	4/2 = 2x	log₂(2.0) = 1.00
5	terça maior	5/4 = 1.25x	log₂(1.25) = 0.322
6	quinta perfeita	6/4 = 1.5x	log₂(1.5) = 0.585
7	"sétima perfeita"	7/4 = 1.75x	log₂(1.75) = 0.807
8	oitava	8/4 = 2x	log₂(2.0) = 1.00

Referências:

http://www.somatematica.com.br

http://pt.wikipedia.org/wiki

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