Por que todo número elevado a zero é um?
Para começar, sabemos que a potenciação é um caso específico da multiplicação, no qual todos os fatores são iguais. Por exemplo:
Nessa condição, escrevemos o valor do fator e na sua parte superior, à direita, um outro número que indica justamente quantas vezes o estamos multiplicando.
Esse número que é colocado na parte superior do fator é conhecido como expoente. Essa forma facilita bastante a escrita:
As propriedades surgem espontaneamente a partir das operações da multiplicação e da divisão com potências.
Para calcular (25) X (24), basta manter a base e somar os expoentes.
Pode-se verificar isso pela própria definição da potenciação:
Em (2 X 2 X 2 X 2 X 2) X (2 X 2 X 2 X 2) multiplica-se o fator 2 nove vezes (29) e 4 + 5 = 9. Resumindo: (2< sup="">) X (2< sup="">) = 2 5 + 4 = (29).
Na situação inversa - de dividirmos em vez de multiplicarmos - temos (
):(
) que no caso é igual a 
que por sua vez é 
, isso equivale a subtrair os expoentes.Dessa forma, no caso da divisão, se tivermos bases iguais, manteremos a base subtraindo o expoente do dividendo ou numerador pelo expoente do divisor ou denominador.
Para o nosso exemplo teremos (
):() = 
É a partir dessa última propriedade que se produz a conseqüência de que todo número elevado a zero é igual a 1.
Em divisão com potências, em que as bases são iguais, teremos a divisão de dois números iguais e um número dividido por ele mesmo resulta sempre na unidade.
Um exemplo: se tivermos
observamos que o dividendo é igual ao divisor e portanto a operação terá 1 como resultado.Pela propriedade
e assim concluímos que 
Poderemos experimentar bases com todos os tipos de números - com a cautela de excluirmos o zero. Pelo fato de a regra ter se originado da divisão, e não esquecendo que um número nunca pode ser dividido por zero, a regra ficará mais precisa com o enunciado que todo o número diferente de zero elevado a zero terá como resultado o valor um.
Excessão à regra:
A expressão matemática 0º é muitas vezes considerada como uma forma indeterminada em Matemática. Outras vezes esta expressão é considerada, por convenção, como sendo igual a 1. Por exemplo, ela aparece quando se calcula o limite:
Lim f(x)g(x)
quando x tende a 0 e Lim f(x)=Lim g(x)=0.
Uma forma indeterminada é o valor numérico que pode ser atribuído ao limite de uma função h=h(x) quando se substitui a variável x pelo valor numérico onde o mesmo será calculado, sem haver um trabalho mais aprimorado com a expressão envolvida com a função h=h(x).
As principais formas indeterminadas são:
0/0, 0.inf, inf/inf, 1inf, inf-inf e 0º
onde inf significa "infinito".
Várias destas formas indeterminadas podem ser estudadas com o auxílio da Regra de L'Hôpital.
A função real f(x)=xx possui uma descontinuidade em x=0, razão pela qual não é óbvio que se tenha que
f(0) = Lim f(x) = Lim xx
quando x tende a 0.
Pode ser que, até mesmo este limite:
- seja determinado e igual a 1 (uma escolha natural),
- seja indeterminado, ou
- nem mesmo exista.
Quando estamos calculando
Lim f(x)g(x)
com x tendendo a 0 e lim f(x)=Lim g(x)=0, devemos fazer algumas exigências sobre as funções f e g.
Como a Regra de L'Hôpital tem íntima relação com o fato de uma f função ter desenvolvimento em série de potências (f ser analítica) em torno do ponto onde se calcula o limite, fica claro que quando esta propriedade é satisfeita nas vizinhanças deste ponto, então quase sempre é possível garantir que 0º=1.
Sem esta propriedade sobre o fato que a função deve ser analítica, nada podemos afirmar.
O fato citado acima pode ser observado se tomarmos a função definida por f(x)=exp(-1/x) se x>0 e f(x)=0 se x<0. (que não tem desenvolvimento em série de potências em torno de x=0) e g(x)=x.
Lim f(x)=0 e Lim g(x)=0 quando x tende a 0, mas:
Lim f(x)g(x) = Lim [exp(-1/x)]x = 1/e = 0,3679...
que obviamente não é igual a 1.
Substituindo o número e de Euler por 2, obteremos um resultado diferente, significando que poderemos obter o limite que desejarmos, assim, este limite é indeterminado.
Concluímos que, se x tende a 0 e Lim f(x)=0=Lim g(x), o limite
Lim f(x)g(x) é indeterminado
e nem mesmo podemos afirmar que 0º possa ser 1.
A expressão matemática 0º é muitas vezes considerada como uma forma indeterminada em Matemática. Outras vezes esta expressão é considerada, por convenção, como sendo igual a 1. Por exemplo, ela aparece quando se calcula o limite:
Lim f(x)g(x)
quando x tende a 0 e Lim f(x)=Lim g(x)=0.
Uma forma indeterminada é o valor numérico que pode ser atribuído ao limite de uma função h=h(x) quando se substitui a variável x pelo valor numérico onde o mesmo será calculado, sem haver um trabalho mais aprimorado com a expressão envolvida com a função h=h(x).
As principais formas indeterminadas são:
0/0, 0.inf, inf/inf, 1inf, inf-inf e 0º
onde inf significa "infinito".
Várias destas formas indeterminadas podem ser estudadas com o auxílio da Regra de L'Hôpital.
A função real f(x)=xx possui uma descontinuidade em x=0, razão pela qual não é óbvio que se tenha que
f(0) = Lim f(x) = Lim xx
quando x tende a 0.
Pode ser que, até mesmo este limite:
- seja determinado e igual a 1 (uma escolha natural),
- seja indeterminado, ou
- nem mesmo exista.
Quando estamos calculando
Lim f(x)g(x)
com x tendendo a 0 e lim f(x)=Lim g(x)=0, devemos fazer algumas exigências sobre as funções f e g.
Como a Regra de L'Hôpital tem íntima relação com o fato de uma f função ter desenvolvimento em série de potências (f ser analítica) em torno do ponto onde se calcula o limite, fica claro que quando esta propriedade é satisfeita nas vizinhanças deste ponto, então quase sempre é possível garantir que 0º=1.
Sem esta propriedade sobre o fato que a função deve ser analítica, nada podemos afirmar.
O fato citado acima pode ser observado se tomarmos a função definida por f(x)=exp(-1/x) se x>0 e f(x)=0 se x<0. (que não tem desenvolvimento em série de potências em torno de x=0) e g(x)=x.
Lim f(x)=0 e Lim g(x)=0 quando x tende a 0, mas:
Lim f(x)g(x) = Lim [exp(-1/x)]x = 1/e = 0,3679...
que obviamente não é igual a 1.
Substituindo o número e de Euler por 2, obteremos um resultado diferente, significando que poderemos obter o limite que desejarmos, assim, este limite é indeterminado.
Concluímos que, se x tende a 0 e Lim f(x)=0=Lim g(x), o limite
Lim f(x)g(x) é indeterminado
e nem mesmo podemos afirmar que 0º possa ser 1.
Nenhum comentário:
Postar um comentário