Limites

Definição 2.1.1 Dados uma função $f:B\to\mathbb R$ e um ponto de acumulação a de B, diz-se que um número $\ell\in\mathbb R$ é limite de f em a, e se escreve:

$\begin{displaymath}\lim_{x\to a}f(x)=\ell\;\quad\text{ ou }\;\quad f(x) \to \ell, \text{ com } x \to a, \end{displaymath}$

quando vale a seguinte condição: Para todo $\varepsilon>0$ , existe $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ tal que:

$\begin{displaymath} x\in B,\quad 0<\vert x-a\vert<\delta\quad \Rightarrow\quad \vert f(x)-\ell\vert<\varepsilon. \end{displaymath}$

(2.1)

Daremos preferência à primeira notação.
Não podemos abrir mão da condição de a ser ponto de acumulação de B, pois é ela que reflete a nossa idéia intuitiva inicial de que a possa ser aproximado por pontos de B distintos de a.
A definição de limite pode ser parafrazeada nos seguintes termos:

Definição 2.1.2 Dados uma função $f:B\to\mathbb R$ e um ponto de acumulação a de B, diz-se que $\ell\in\mathbb R$ é o limite de f em a, se para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ satisfazendo:

$\begin{displaymath} f\bigl([V_\delta(c)\setminus\{c\}]\cap B\bigr)\subset V_\varepsilon(\ell) \end{displaymath}$

(2.2)

Observação 2.1.1 Notemos que não importa quão pequeno seja o número $\varepsilon>0$ dado; se $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$ , é sempre possível encontrar $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ de modo que a relação (2.1) valha.

Vamos analisar a Definição 2.1.1 num caso concreto. Consideremos a função

$\begin{displaymath}f(x)=\frac{2(x^2-1)}{(x-1)}. \end{displaymath}$

Note que f não está definida no ponto x=1. No entanto, para $x\ne1$ temos f(x)=2(x+1) e, portanto, é natural suspeitar que $\lim_{x\to1}f(x)=4$ . Mostremos através da Definição 2.1.1 que este é o caso. De fato, se $x\ne1$ podemos escrever

|f(x)-4|=|2(x+1)-4|=2|x-1|.

Assim, dado $\varepsilon>0$ , se escolhermos $\delta=\varepsilon/2$ obtemos

$\begin{displaymath}0<\vert x-1\vert<\delta\quad\Rightarrow\quad 2\vert x-1\vert<\varepsilon, \end{displaymath}$

ou seja, $\vert f(x)-4\vert<\varepsilon$ . Confira com a Figura 2.1.

**Figure:** $\lim_{x\to1}2(x^2-1)/(x-1)=4\quad[\delta=\varepsilon/2]$
$\includegraphics{fig12.eps}$

Com o exemplo acima e os que damos a seguir visamos exclusivamente clarificar a definição de limite. O objetivo de um curso de Cálculo não pode ser o de aprender a calcular limites usando a Definição 2.1.1. Daqui a pouco aprenderemos algumas propriedades que permitem ver, por exemplo, que $\lim_{x\to2}(3x+4)=10$ de um modo muito mais direto do que o utilizado no item (3) abaixo.

Exemplo 2.1.1 (1) Se considerarmos f(x)=c (constante), temos talvez o exemplo mais simples deste capítulo:

$\begin{displaymath}\lim_{x\to a}c = c. \end{displaymath}$

Conferindo a definição de limite, dado $\varepsilon>0$ , qualquer número $\delta>0$ se ajusta ao nosso objetivo, pois sempre teremos $\vert f(x)-c\vert=0<\varepsilon$ . (2) Se f(x)=x, temos $\lim_{x\to a}x = a$ . De fato, dado $\varepsilon>0$ , se tomarmos $\delta=\varepsilon$ temos a relação (2.1) imediatamente satisfeita com $\ell=a$ .
(3) $\lim_{x\to2}(3x+4)=10$ . De fato, dado $\varepsilon>0$ , para encontrar um $\delta>0$ que nos convenha, notemos que neste caso a=2 e $\vert f(x)-\ell\vert=\vert(3x+4)-10\vert$ . Assim, se tomarmos $\delta=\varepsilon/3$ , temos:

$\begin{displaymath}0<\vert x-2\vert<\delta \quad \Rightarrow \quad \vert(3x+4)-10\vert=3\vert x-2\vert<3\delta=\varepsilon. \end{displaymath}$

(4) $\lim_{x\to2}(x^2+1) = 5$ . De fato, dado $\varepsilon>0$ , vamos procurar $\delta>0$ sob a restrição $\delta\le1$ . Assim, $\vert x-2\vert<\delta$ implica 1<x<3 e, portanto, |x+2|<5. Logo, se $0<\delta\le{\varepsilon}/5$ , temos

$\begin{displaymath}0<\vert x-2\vert<\delta \quad \Rightarrow \quad \vert(x^2+1)... ...+2\vert \vert x-2\vert<5\vert x-2\vert<5\delta\le\varepsilon. \end{displaymath}$

Portanto, basta tomar $0<\delta\le\min\{1,\varepsilon/5\}$ . (5) $\lim_{x\to a}\cos x=\cos a$ . De fato, observemos que sempre $\vert\cos x_1 -\cos x_2\vert\le\vert x_1-x_2\vert$ ; confira com a Figura 2.1.1 Assim, dado $\varepsilon>0$ , podemos tomar $\delta=\varepsilon$ uma vez que, neste caso:

$\begin{displaymath}0<\vert x-a\vert<\delta \quad \Rightarrow \quad \vert\cos x-\cos a\vert\le\vert x-a\vert<\delta=\varepsilon. \end{displaymath}$

**Figure:** $\vert\cos x_1 -\cos x_2\vert\le\vert x_1-x_2\vert$
$\includegraphics{fig22.eps}$

(6) $\lim_{x\to a}\text{\rm sen} x = \text{\rm sen} a$ . A justificativa é inteiramente análoga à do exemplo anterior.

Uma consequência da Definição é 2.1.1 a unicidade do limite.

Proposição 2.1.1 Seja $f:B\to\mathbb R$ e suponhamos que exista o limite de f em um ponto a. Então ele é único.

Prova Suponhamos que $\lim_{x\to a}f(x)=\ell_1$ e $\lim_{x\to a}=\ell_2$ . Seja $\varepsilon>0$ um número qualquer. De acordo com a Definição 2.1.1 - tomando $\varepsilon/2$ no papel de $\varepsilon$ - existem $\delta_1, \delta_2>0$ de modo que, se $x\in B$ :

$\begin{gather} 0 < \vert x-a \vert < \delta_1 \quad \Rightarrow \quad \vert f... ..._2 \quad\Rightarrow \quad \vert f(x)-\ell_2\vert< \varepsilon /2. \end{gather}$

Escolhendo $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$ , então se $x\in B$ e $0<\vert x-a\vert<\delta$ , as implicações acima acarretam

$\begin{gather} 0 \le \vert\ell_1-\ell_2\vert=\vert\ell_1-f(x)+f(x)-\ell_2\vert... ...rt+\vert f(x)-\ell_2\vert<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon. \end{gather}$

Da arbitrariedade de $\varepsilon$ e de (2.5) segue-se que o número não negativo $\vert\ell_1-\ell_2\vert$ é menor do que qualquer número positivo, portanto $\vert\ell_1-\ell_2\vert=0$ , ou seja, $\ell_1 = \ell_2.$ Damos a seguir dois exemplos em que não existe o limite

Exemplo 2.1.2 (1) $\lim_{x\to 0}(x/\vert x\vert)$ não existe. De fato, seja f(x)=x/|x|. Como f(x)=1, para x>0, se existisse $\lim_{x\to0}f(x)$ teriamos $\lim_{x\to0}f(x)= \lim_{x\to0}{f\vert}_{(0,\infty)}(x)=1$ . De modo análogo verificar-se-ia $\lim_{x\to0}f(x)= \lim_{x\to0}{f\vert}_{(-\infty,0)}(x)=-1$ . Assim, os números 1 e -1 teriam de ser iguais a $\lim_{x\to0}f(x)$ contrariando a unicidade do limite. (2) $\lim_{x\to0}\text{\rm sen}(1/x)$ não existe. De fato, suponhamos, por contradição, que exista $\ell=\lim_{x\to0}\text{\rm sen}(1/x)$ . Dado $\varepsilon>0$ , digamos, $\varepsilon=1$ , deve existir $\delta>0$ tal que

$\begin{displaymath}0 <\vert x\vert <\delta\quad\Rightarrow\quad \vert \text{\rm sen}(1/x) - \ell \vert <1. \end{displaymath}$

Portanto, se $x,y\in\mathbb R$ ,

$\begin{gather} 0 < \vert x\vert ,\,\vert y\vert < \delta\quad\Rightarrow\quad ... ...text{\rm sen}(1/x)-\ell\vert+\vert\text{\rm sen}(1/y)-\ell\vert<2. \end{gather}$

Mas, se $\tilde{x}=2/(4n+1)\pi$ e $\tilde{y}=2/(4n-1)\pi$ , $n\in\mathbb Z$ , temos $\text{\rm sen}(1/\tilde{x})=1$ e $\text{\rm sen}(1/\tilde{y})=-1$ (veja o gráfico da função $f(x)=\text{\rm sen}(1/x)$ , para x>0, na figura a seguir). Observe, entretanto, que para $n\in\mathbb Z$ suficientemente grande temos

$\begin{displaymath}0<\vert\tilde{x}\vert,\,\vert\tilde{y}\vert<\delta\quad\text{... ...xt{\rm sen}(1/\tilde{x})-\text{\rm sen}(1/\tilde{y})\vert=2, \end{displaymath}$

o que contraria a condição (2.7). Logo, não existe $\ell=\lim_{x\to0}\text{\rm sen}(1/x)$ .

**Figure:** $y=\text{sen}(1/x)$
$\includegraphics{fig32.eps}$

O item (1) do Exemplo 2.1.2 sugere um outro tipo de limite mais restrito, o limite à esquerda e o limite à direita: são os limites laterais. Para definir esses conceitos precisamos da noção de ponto de acumulação lateral, isto é,

Definição 2.1.3 Consideremos um ponto $a\in\mathbb R$ e um conjunto $B\subset\mathbb R$ . Diz-se que a é um ponto de acumulação lateral de B, deixando B à esquerda, se a é ponto de acumulação de $B\bigcap(-\infty,a]$ . Define-se analogamente ponto de acumulaçao lateral de um conjunto $B\subset\mathbb R$ , deixando B à direita.

É claro que um ponto de acumulação lateral de um conjunto $B\subset\mathbb R$ é um ponto de acumulação de B, pois de acordo com a Definição 1.1.6, todo ponto de acumulação de um subconjunto de um conjunto $B\subset\mathbb R$ é um ponto de acumulação de B.
Podemos agora definir limite à esquerda de f em a em termos da restrição ${f\vert}_{(-\infty,a]\cap B}$ de f ao conjunto $B\bigcap(-\infty,a]$ .

Definição 2.1.4 Consideremos uma função $f:B\to\mathbb R$ , e seja a um ponto de acumulação lateral de $B\subset\mathbb R$ , deixando B à esquerda. O limite à esquerda de f em a é $\ell\in\mathbb R$ , se $\lim_{x\to a}{f\vert}_{(-\infty,a]\cap B}(x)=\ell$ .

Denota-se: $\lim_{x\to a-}f(x)=\ell$ ou $f(a-)=\ell$ . Fica a cargo do leitor definir o limite à direita de f, quando x tende a a em termos de ${f\vert}_{[a,\infty)\cap B}$ . Neste caso a notação é

$\begin{displaymath}\lim_{x\to a+}f(x)=\ell\quad\text{ou}\quad f(a+)=\ell. \end{displaymath}$

Observação 2.1.2 Suponhamos que a seja ponto de acumulação lateral de $B\subset\mathbb R$ , deixando B à esquerda e à direita simultaneamente. Se existir o limite $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$ de uma função $f:B\to\mathbb R$ , então existem ambos os limites laterais de f em a, mas a recíproca é falsa, como mostra o item (1) do exemplo 2.1.2.

Observação 2.1.3 Suponhamos que as condições assumidas na definição dos limites laterais de f, quando $x\to a\pm$ se cumpram. Neste caso, existe o limite $\ell$ de f em a se, e somente se, existem os dois limites laterais e ambos são iguais a $\ell$ , isto é,

$\begin{displaymath}\lim_{x\to a}f(x)=\ell\quad\Leftrightarrow\quad \lim_{x\to a-}f(x)=\ell=\lim_{x\to a+}f(x). \end{displaymath}$

Confira com o Exercício 7.

Embora quase inocente, a observação anterior é um bom recurso em muitas situações práticas. No item (1) do Exemplo 2.1.2 temos

$\begin{displaymath}\lim_{x\to 0-}\frac x{\vert x\vert}=-1\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0+}\frac x{\vert x\vert}=1, \end{displaymath}$

porisso concluimos que o limite em questão não existe. Mais adiante, na demonstração do Teorema do Primeiro Limite Fundamental esse recurso será utilizado positivamente, isto é, para mostrar que um certo limite existe. Daqui em diante proporemos alguns exercícios mais práticos, visando treinar a manipulação das técnicas, e outros mais conceituais, procurando fixar as idéias importantes da teoria. O leitor deve se sentir desafiado por qualquer um que lhe inspire dificuldade.

EXERCÍCIOS

I - Calcule, caso existam, os limites abaixo. Se não existirem, determine a tendência da imagem ou justifique a não existência: