Equações com expoente 1
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Equações do 1º grau com uma variável
Equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam números desconhecidos.
Exemplo:X + 3 = 12 – 4
Assista aos vídeos:
Forma geral: ax = b, em que x representa a variável (incógnita) e a e b são números racionais, com a 
0. Dizemos que a e b são os coeficientes da equação.(ax = b, é a forma mais simples da equação do 1º grau)
0. Dizemos que a e b são os coeficientes da equação.(ax = b, é a forma mais simples da equação do 1º grau)Exemplos:
x - 4 = 2 + 7, (variável x) 2m + 6 = 12 – 3 ,(variável m) -2r + 3 = 31, (variável r) 5t + 3 = 2t – 1 , (variável t)
3(b – 2) = 3 + b,(variável b) 4 + 7 = 11, (é uma igualdade, mas não possui uma variável, portanto não é uma equação do 1º grau) 3x – 12 > 13, (possui uma variável, mas não é uma igualdade, portanto não é uma equação do 1º grau)
3(b – 2) = 3 + b,(variável b) 4 + 7 = 11, (é uma igualdade, mas não possui uma variável, portanto não é uma equação do 1º grau) 3x – 12 > 13, (possui uma variável, mas não é uma igualdade, portanto não é uma equação do 1º grau)
Obs:
Devemos observar duas partes em uma equação, o 1º membro à esquerda do sinal de igual e o 2º membro à direita do sinal de igual.
Veja:
Conjunto Universo:Conjunto formado por todos os valores que a variável pode assumir. Representamos pela letra U.
Conjunto Solução:Conjunto formado por valores do conjunto U que tornam a sentença verdadeira. Representamos pela letra S.
Exemplo:
Dentre os elementos do conjunto F = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, qual deles torna a sentença matemática
2x – 4 = 2, verdadeira.
2x – 4 = 2, verdadeira.
2(0) – 4 = 2 Errado
2(2) – 4 = 2 Errado
2(3) – 4 = 2 Verdadeiro
2(6) – 4 = 2 Errado
2(8) – 4 = 2 Errado
2(9) – 4 = 2 Errado
Devemos observar que o conjunto U = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, e conjunto S = {3}
Sistemas de Equações do 1º Grau
SISTEMA COM DUAS EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS
Resolver um sistema de duas equações do 1º grau com duas variáveis, x e y, por exemplo, significa determinar o único par ordenado (x,y) que é a solução do sistema. Podemos encontrar a solução de um sistema usando os métodos da adição, substituição e comparação.
Exercícios Resolvidos:
1) Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?
Solução:
n + n/2 = 150
2n/2 + n/2 = 300/2
2n + n = 300
3n = 300
n = 300/3
n = 100
Resposta: Esse número é 100.
2) A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 36. Qual é esse número?
Solução:
x - x/5 = 36
(5 x - x)/5 = 36
4x /5 = 36
4x = 36.5
4x = 180
x = 180/4
x = 45
Resposta: Esse número é 45.
3) O triplo de um número é igual a sua metade mais 20. Qual é esse número?
Solução:
3 m = m/2 + 20
6m/2 = (m+40)/2
6m = m + 40
6m - m =
5m = 40
m = 40/5
m = 8
Resposta: Esse número é 8.
4) O triplo de um número, mais 5, é igual a 254. Qual é esse número?
Solução:
3p + 5 = 254
3p = 254 - 5
3p = 249
p = 249/3
p = 83
Resposta: Esse número é 83.
5) O quádruplo de um número, diminuído de três, é igual a 99. Qual é esse número ?
6) Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idades será 72 anos?
7) Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e de carros.
8) A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 75. Quantos objetos há na caixa?
9) Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 90 empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?
10) Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de bolas brancas. Se tirarmos 4 brancas e 24 pretas, o número de bolas de cada cor ficará igual. Qual a quantidade de bolas brancas?
11) Como devo distribuir R$ 438,00 entre três pessoas, de modo que as duas primeiras recebam quantias iguais e a terceira receba o dobro do que receber as duas primeiras?
12) Ao triplo de um número foi adicionado 40. O resultado é igual ao quíntuplo do número. Qual é esse número?
Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis
Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções.
Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y).
Dispondo de dois pares ordenados de um equação, podemos representá-los graficamente num plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto das solução dessa equação. Exemplo:
Construir um gráfico da equação x + y = 4.
Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação.
1º par: A (4, 0)
2º par: B (0, 4)
A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano.
|  |
Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contém todos os pontos soluções da equação.
 |
A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação.
Exercícios:
1) Se eu adicionar 8 à quantidade de carrinhos que possuo, ficarei com a mesma quantidade de carrinhos de meu irmão, se dos 28 que ele possui, for retirada a quantidade que eu possuo. Quantos carrinhos eu tenho?Primeiramente vamos assumir que x seja a quantidade de carrinhos que eu possuo. Vamos montar então a expressão matemática por partes.
Sendo x a quantidade de carrinhos que eu possuo, ao adicionar 8, ficarei com x + 8.
Do enunciado sabemos que ele tem 28 carrinhos e se subtrairmos deste número a quantidade que eu possuo (x), ficaremos com quantidade iguais. Então:
x + 8 = 28 - x
A partir daí devemos deixar a incógnita x isolada no lado direito, passando os coeficientes para o outro lado.
O x que está sendo subtraído no segundo membro, passará ao primeiro membro sendo adicionado.
x + x + 8 = 28
x mais x é igual a 2x, assim como uma laranja mais uma laranja é igual a duas laranjas.
2x + 8 = 28
Passemos agora o 8 que está sendo adicionado, para o outro lado, na operação inversa, ou seja, sendo subtraído:
2x = 28 - 8
Realizando a subtração:
2x = 20
O coeficiente 2 que está multiplicando a incógnita x, passará para o outro membro dividindo o termo 20:
Realizando a divisão encontramos a raiz 10:
x = 10
Portanto:
Eu tenho 10 carrinhos.2) Comprei 7,5kg de um produto e recebi um troco de R$ 1,25. Caso eu tivesse comprado 6kg, o troco teria sido de R$ 5,00. Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria?Digamos que p seja o preço por kg da mercadoria. Como em ambos os casos eu teria um troco a receber, então o valor que eu dei em pagamento seria igual à massa comprada vezes o preço por kg mais o troco nas duas situações. Teríamos então:
O 6p que está sendo somado no segundo membro, passará ao primeiro membro sendo subtraído, ao mesmo tempo em que o 1,25 à esquerda que está sendo somado passará à direita subtraindo:
Realizando as subtrações:
O coeficiente 1,5 que está multiplicando a incógnita p irá para o outro lado dividindo o termo 3,75:
Que dividindo dá:
Tomemos então o primeiro membro da equação inicial
Ele representa quanto me custou o produto mais quanto recebi de troco, ou seja, quanto dei em dinheiro para o pagamento. Vamos então substituir p pelo valor encontrado de 2,5 e realizar os cálculos:
Portanto:
Eu dei R$ 20,00 em dinheiro para o pagamento da mercadoria.3) A soma da minha idade, com a idade de meu irmão que é 7 anos mais velho que eu dá 37 anos. Quantos anos eu tenho de idade?Partamos do princípio que a minha idade seja igual a x. Como o meu irmão tem 7 anos a mais que eu, então ele tem x + 7 anos de idade. Como a soma das idades é de 37 anos, podemos escrever a seguinte sentença:
Ou seja:
Passando para o outro lado o 7 como subtraindo, já que ele se encontra adicionando no primeiro membro, temos:
Realizando a subtração:
Passando o multiplicador 2 para a direita como divisor:
Que dividindo dá:
Portanto:
Eu tenho 15 anos de idade.4) Tenho a seguinte escolha: Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho, ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 30,00. Qual o valor unitário deste produto?Vou chamar de x o preço da unidade deste produto.
A partir do enunciando chegamos à seguinte equação:
O termo 20x se refere às 20 unidades do produto multiplicado pelo seu valor unitário.
Sabemos que isto é igual a 14 unidades do produto multiplicado pelo seu valor unitário, mais 30 reais de troco, ou seja, 14x + 30.
Vamos passar o 14x para o primeiro membro, lembrando que por estar sendo adicionado, ele passará subtraindo:
Ao fazermos a subtração:
Passamos o 6 para o outro lado, dividindo já que ele está multiplicando:
Que dividindo dá:
Portanto:
O valor unitário deste produto é de R$ 5,00.5) O volume de chuvas na minha região foi de 30 ml nos dois últimos dias. Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje. Qual foi o volume de chuva de hoje?Chamemos de v o volume da chuva hoje.
Do enunciando tiramos que 2v corresponde ao volume de chuva de ontem, assim como 30 é o volume total. Podemos então montar à seguinte equação:
Somando os termos do primeiro membro temos:
Passando o 3 para o outro lado, como divisor já que ele é um multiplicador:
Ao dividirmos:
Portanto:
O volume de chuva de hoje foi de 10 ml.6) Qual é o conjunto solução da equação 4x - 8 = 10?Portanto:
S = { 4,5 }.7) Qual é a raiz da equação 7x - 2 = -4x + 5?Portanto:
7/11 é a raiz da equação.8) U = { -5, 0, 3 } é o conjunto universo da equação 6x + 18 = 0. Qual é o conjunto solução desta equação?Portanto:
S = {} é o conjunto solução (conjunto vazio), pois -3 não pertence ao conjunto universo.9) Encontre o conjunto verdade da equação -2x = -4 + 3x?Portanto:
V = {4/5} é o conjunto solução da equação.10) 7 é raiz da equação x + 5 = 2?Portanto:
Não, pois -3 é que é a raiz desta equação.
Exercícios de Equações de 1º Grau
1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses? 2) Resolva as equações a seguir: a)18x - 43 = 65 b) 23x - 16 = 14 - 17x c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20 d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12 e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4 f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2 3) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais. 4) Resolver as seguintes equações (na incógnita x): a) 5/x - 2 = 1/4 (x  0)b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R | -2 < x < 1}
= 4 e y - 1 = 0, então x =
3 é:
, então:
Resolva as equações em R
1) 2 x + 6 = x + 18
2) 5 x – 3 = 2 x + 9
3) 3 (2x-3) + 2 (x + 1) = 3x + 18
4) 2x + 3 (x – 5) = 4x + 9
5) 2 (x + 1) – 3 (2x – 5) = 6x – 3
6) 3x – 5 = x – 2
7) 3x – 5 = 13
8) 3x + 5 = 2
9) x – (2x – 1) = 23
10) 2x – (x – 1) = 5 – (x – 3)
11) Considere a equação 2(3x-2) + m(x-1) = m, na incógnita x. Obtenha a constante real m de modo
que o número -1 seja solução dessa equação. R: -10/3
12) A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm
uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B? R: 25.000
13) Uma casa com 260m2
de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de
cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m2 ?
R: 40
14) Luis e Maria resolveram comprar suas coleções de “compact disc” . Descobriram que têm ao todo
104 CDs e que se Maria tivesse 12 CDs a menos teria o triplo do número de CDs do Luís. Qual é a
quantidade de CDs que Luís possui? R: 23 CDs
15) Meu irmão é cinco anos mais velho do que eu. O triplo da minha idade, somando ao dobro da idade
dele, dá 100 anos. Qual a minha idade? R: 18 anos
16) Eu tenho o dobro da idade de minha filha, se a diferença de nossas idades é 23 anos, minha idade é:
R: 46 anos
17) Um aluno ganha 5 pontos por exercícios que acerta e perde 3 por exercícios que erra. Ao fim de 50
exercícios, tinha 130 pontos. Quanto exercício acertou? R: 35
18) Uma pessoa retira R$ 70,00 de um banco, recebendo 10 notas, algumas de $10,00 e outras de
R$5,00. Calcule quantas notas de R$ 5,00 a pessoa recebeu. R: 6
19) A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela
equação: Q = 100 – 4p. Determinar a quantidade de produtos vendidos para p = R$ 15,00.
R: 40
20) A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela
equação: Q = 120 – 2p. Determinar o preço “p” correspondente a 30 unidades de produtos
vendidos. R: 45
Referências:
http://www.slideshare.net/edigleyg3/equaes-do-1-grau-exerccios
http://www.profcardy.com/cardicas/exercicios/
http://www.profcardy.com/cardicas/exercicios/semana_01.htm
http://www.celiomoliterno.eng.br/Arquivos/Santa/Exercicio/equ1g.pdf
http://www.somatematica.com.br/soexercicios/equacoes.php
http://www.profcardy.com/cardicas/exercicios/
http://www.profcardy.com/cardicas/exercicios/semana_01.htm
http://www.celiomoliterno.eng.br/Arquivos/Santa/Exercicio/equ1g.pdf
http://www.somatematica.com.br/soexercicios/equacoes.php
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