Prof.: Marcos Vilela Garcia: Equações Parte II

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Boa Pesquisa!

Noções:

     A soma de dois números é 12 e a diferença entre eles é 4. Quais são estes números?
    Para a resolução de problemas como este que apresenta duas incógnitas desconhecidas, utilizamos um sistema de equações.
    Chamamos de x o primeiro número (o maior) e de y o segundo número.
Pelo enunciado:
     » soma de dois números é 12, ou seja: x+y = 12 ...I
     » a diferença entre eles é 4, isto é :     x-y = 4 .....II
     A solução de um sistema de equações com duas variáveis é um par ordenado (x,y) de números reais que satisfaz as duas equações ( I e II ).
     Verificando o par ordenado (8,4), notamos que satisfaz as duas equações:
     8+4=12 e 8-4=4 , logo a solução do sistema é (8,4)

Assista às Aulas:

     Vejamos agora os métodos para a resolução de sistema de equações:
Método da adição:

» basta eliminar uma das variáveis, através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau com uma variável.
Ex: x+y=12
     x-y=4
     Notamos que as duas equações possuem termos opostos
(y e -y).
     Com isso, basta somar as duas equações:

     A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em uma das equações.
        8+y=12                ou             8-y=4
           y=12-8                               -y=4-8
           y=4                                      y=4

     O par ordenado (x,y)=(8,4) é a solução do sistema.
Outro exemplo:

... I

.. II
     » Note que as equações não possuem coeficientes opostos, logo se somarmos membro a membro, não eliminaremos nenhuma variável.
     Para a resolução deste sistema, devemos escolher uma variável para ser eliminada.
     Para isso, multiplicamos a equação I por -2:

... I

... II
         0x + 0y = 6 .... III
     Observe que a equação III não possui solução, logo a solução do sistema seria vazio.
      S= { }
Método da substituição:
     » Consiste em eliminarmos uma das variáveis isolando seu valor numa das equações do sistema, para em seguida substitui-la na outra.
Ex: x+y=12 ... I
      x-y=4 .... II
     Escolhemos uma das variáveis na primeira equação, para determinarmos o seu valor:
     x+y=12 » x=12-y
     Substituímos na outra equação:

    (12-y) - y = 4
          12-2y = 4
             -2y = -8
                y=4
     Substituindo o valor encontrado em uma das equações:

       x+4=12   » x=12-4 » x=8
     Logo a solução do sistema seria:
             S = {(8,4)}
Ex:

... I

... II
Escolhemos a variável y da equação II:

... II
Substituindo na equação II :

Substituindo o valor de x encontrado em II:

      Logo a solução do sistema é :
               S = {( 10,4 )}
Método da comparação:
» Consiste em comparmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações:
      x+2y=2     »   x=2-2y
      x+y = 3     »   x=3-y

      Comparando as duas equações:
                2-2y=3-y
               -2y+y=3-2
                   -y = 1
                    y = -1
      Substituindo o valor de y encontrado:
           x = 2-2.(-1) » x=2+2=4

Portando S= {(4,-1)}

Exercícios:

Sistemas de Equações

1) Resolva os seguintes sistemas:

2) Problemas com sistemas já montados:
a) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 pes. Quantas são as galinhas e os coelhos?
x+y=23
2x+4y=82

b) A soma das idades de duas pessoas é 25 anos e a diferença entre essas idades é de 13 anos. Qual a idade de cada uma?
x+y=25
x-y=13

c) A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro do menor, menos 1. Quais são os números?
x+y=50
x=2y-1

d) Duas pessoas ganharam, juntas, 50 reais por um trabalho e uma delas ganhou 25% do que a outra. Quanto ganhou cada pessoa?
x+y=50
x=1/4y

e) O preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira e duas canetas juntas custam 30. Qual o preço da caneta e da lapiseira?
x=2y
x+y=30

3) (Fuvest) Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio é?
(A) 20g
(B) 25g
(C) 35g
(D) 40g
(E) 45g
4) (F.C.CHAGAS) Somando-se os 2/3 de um número x como os 3/5 do número y, obtém-se 84. Se o número x é metade do número y, então a diferença y-x é igual a:
(A) 18
(B) 25
(C) 30
(D) 45
(E) 60
Respostas dos testes: 3)C, 4)D

Sistemas de Equações do 1º Grau - Parte II

3.0 - Resolução de um Sistema de Equações Fracionárias do Primeiro Grau

Alguns sistemas apresentam uma ou mais equações fracionárias, no entanto a resolução poderá ser feita sem maiores problemas.
Vejamos alguns exemplos

4.0 - Resolução de um Sistema de Equações Fracionárias do Primeiro Grau por Artifício de Cálculo

Alguns sistemas de equações fracionárias podem ser resolvidos de uma forma mais simples quando fazemos algumas substituições
providenciais. Vejamos alguns exemplos

5.0 - Resolução de um Sistema Literal do Primeiro Grau

Alguns sistemas são formados por equações literais e podem ser resolvidos da mesma forma que os sistemas vistos até agora.
Vejamos alguns exemplos.

6.0 - Exercícios Propostos

Respostas dos Exercícios Propostos

01	x = 8 e y = 3	02	x = 5 e y = 2	03	x = 4 e y = - 1	04	x = - 3 e y = 2
05	x = - 8 e y = 21	06	x = 6 e y = 2	07	x = 10 e y = 5	08	x = 4 e y = - 2
09	x = 3 e y = - 2	10	x = 4 e y = 5	11	x = 4 e y = 2	12	x = 2 e y = 1
13	x = 10 e y = 7	14	x = 1 e y = - 4	15	a = - 5 e b = - 3	16	x = 1/3 e y = 1/2
17	x = - 2 e y = 6	18	a = 1 e b = 3	19	x = 6 e y = 8	20	x = 10 e y = 7
21	x = 3 e y = - 3	22	x = 9 e y = 5	23	x = - 2 e y = 5	24	x = - 6 e y = 4
25	x = 4 e y = 5	26	x = 10 e y = 10	27	x = 2/9 e y = 1/9	28	x = 1/2 e y = 1/3
29	x = 3 e y = 1	30	x = 5 e y = 3	31	x = 7 e y = 1	32	x = 7 e y = 5
33	x = 7 e y = 2	34	x = 5 e y = 2	35	x = 5 e y = 7	36	x = 1 e y = 2
37	x = 12 e y = 6	38	x = 1,5 e y = 2	39	x = 6 e y = - 2	40	x = - 9 e y = - 16
41	x = 3 e y = 2	42	x = 5 e y = 1	43	Letra a	44	Letra d