Arquimedes

ARQUIMEDES: “EUREKA, EUREKA” .

Prof. Jacir J. Venturi

A genialidade de Arquimedes (c.287 – 212 a.C.) como físico-matemático só
é comparável à de Isaac Newton. Sua produção é completamente original e muito
vasta, incluindo Geometria Plana e Sólida, Astronomia, Aritmética, Mecânica e
Hidrostática.
Nasceu na ilha grega da Sicília, na cidade de Siracusa. Quando jovem,
estudou em Alexandria, o templo do saber da época, com os discípulos de
Euclides.
Suas invenções engenhosas, suas máquinas de caráter utilitário e bélico o
fizeram memorável através dos séculos, por historiadores romanos, gregos,
bizantinos e árabes.
Arquimedes, no entanto, considerava seus engenhos mecânicos como fator
episódico e que, de certa forma, tiravam a dignidade da ciência pura. "Sua
mentalidade não era a de um engenheiro, mas sim, a de um
matemático".
Alguns de seus feitos são clássicos e conhecidos, mas
merecem ser relembrados:
Por descrição de Vitrúvio, conhecemos a história da
coroa do rei Herão. Este havia encomendado a um ourives
uma coroa de ouro puro. Uma vez pronta, o desconfiado rei
Herão solicitou a Arquimedes que a analisasse e dirimisse a
dúvida: era de ouro puro ou feita de uma amálgama com
prata?
Quando tomava banho, Arquimedes observou que, à
medida que seu corpo mergulhava na banheira, a água transbordava. Foi o
insight para resolver o problema.
Conta o historiador Vitrúvio que Arquimedes, eufórico, teria saído pelas
ruas, completamente nu, gritando "Eureka, eureka", que significa "Achei, achei".
Refeito do vexame, Arquimedes comprovou que houve fraude por parte do
ourives. Destarte, tomou dois recipientes cheios de água e num recipiente imergiu
um bloco de ouro e noutro recipiente, um bloco de prata. Como ambos continham
o mesmo peso que a coroa, comprovou a fraude, pois constatou que os blocos
deslocavam quantidades diferentes de água.
Deste fato decorre o princípio de Arquimedes, lei básica da Hidrostática:
Todo corpo mergulhado num fluido recebe um empuxo de baixo para cima igual
ao peso do volume do fluido deslocado.
Paradoxalmente, Arquimedes era muito negligente em termos de asseio
pessoal. Lê-se em Plutarco que Arquimedes "era por vezes levado à força para
banhar-se ou passar óleo no corpo. Ele costumava traçar figuras geométricas nas
cinzas do fogo, e diagramas no óleo de seu corpo, estando em um estado de
preocupação total e de possessão divina, no sentido mais verdadeiro, por seu
amor e deleite pela ciência".
Na 2.ª Guerra Púnica, contra a poderosa razia do exército e marinha
romanos, comandados pelo Cônsul Marcelo, a sagacidade de Arquimedes criou
aparatos devastadores, como:
– catapultas de grande alcance para lançar blocos de pedra sobre as galeras
inimigas;
– gigantescos guindastes que elevavam a proa dos navios romanos,
afundando-os pela popa;
– um enorme espelho que incendiava os navios hostis à distância, uma vez
que refletiam os raios solares.
Plutarco conta que se instalou tamanho temor e angústia entre as tropas
romanas, que qualquer corda ou pau sobre as muralhas de Siracusa era
considerado uma artimanha diabólica de Arquimedes.
Marcelo desistiu de tomar Siracusa por assalto e infligiu-lhe um cerco de 3
anos. Em 212 a.C. a cidade rendeu-se.
Adentrando às muralhas de Siracusa, as hostes romanas promoveram a
pilhagem, seguida de uma sangrenta matança. Um soldado aproximou-se de um
encanecido senhor de 75 anos, que indiferente à chacina, desenhava diagramas na
areia e absorto balbuciou: "Não perturbes os meus círculos". O soldado enraivecido
trespassou-o com a espada. Foram as derradeiras palavras de Arquimedes.
Marcelo, que havia dado ordens expressas para que se poupasse a vida de
seu arquirival, ficou muito entristecido e providenciou que lhe concedesse um
enterro com honras. Mandou erigir um monumento e, satisfazendo o desejo de
Arquimedes, foi gravada na lápide de seu túmulo a representação de uma esfera
inscrita num cilindro circular reto cuja altura é igual ao seu diâmetro, pois ele havia
descoberto e provado as relações matemáticas (notação hodierna):


Passados 137 anos, o conspícuo orador e estadista romano Cícero (106-43
a.C.) deslocou-se a Siracura e identificou o túmulo de Arquimedes. Cícero mandou
restaurar a tumba, pois encontrou em total estado de abandono, recoberta por
espinheiros e roseiras silvestres. Hoje infelizmente não há mais qualquer referência
sobre os restos mortais de um dos maiores gênios da humanidade.
Outros inventos notáveis ou estudos de Arquimedes:
– Um mecanismo feito de tubos em hélice, fixos a um eixo inclinado com
uma manivela para fazê-lo girar. Tem por escopo elevar a água a um plano
superior, conhecido como "parafuso de Arquimedes". É um processo rudimentar,
mas que ainda é usado ao longo do rio Nilo.
– Descobriu o princípio da alavanca e cunhou o célebre aforisma: "Dê-me
um ponto de apoio e levantarei o mundo".
– Conta Plutarco que Arquimedes arrastou uma das galeras do rei Herão,
tão suave e uniformemente como se navegasse em pleno mar, movendo apenas
com sua mão a extremidade de um engenho que consistia em um bloco com polias
e cordas.
– Relata Cícero que Arquimedes construiu um empolgante mecanismo
hidráulico, com esferas móveis que representavam o Sol, a Lua e os cincos
planetas conhecidos, podendo-se observar as fases e os eclipses da Lua. Enfim,
um pequeno planetário.
A grandeza do mestre também se manifesta na Matemática:
– No tratado Sobre as Medidas do Círculo, Arquimedes, em um círculo
dado, inscreveu e circunscreveu um polígono de 96 lados e obteve a fórmula para
o cálculo da área do círculo e, por muitos séculos, o mais acertado valor para pi:
Apenas à guisa de ilustração, o símbolo p não foi usado na antigüidade
grega no sentido atual. A introdução do símbolo só aconteceu em 1706, por
William Jones, um amigo de Newton. A letra p é a inicial da palavra grega
perijereia que significa circunferência. Sabemos que p = 3,1415926535... é um
número irracional.



– No tratado “A Quadratura da Parábola”, Arquimedes demonstra que a
área contida por uma parábola (Sp) e uma reta transversal é 4/3 da área do
triângulo (SD) com a mesma base e cujo vértice é o ponto onde a tangente à
parábola é paralela à base.

Ainda neste mesmo tratado, o ilustre siracusano foi provavelmente o
primeiro a saber e provar que a área da esfera é 4pR2, em notação atual.
– No livro O Equilíbrio de Planos, trata do centro de gravidade de figuras
sólidas e planas (triângulo, trapézio, segmento de parábola, etc.).
– No tratado Dos Conóides e Esferóides, Arquimedes obtém a área de
uma elipse (S=pab) e descreve sólidos de revolução gerados por parábolas, elipses
e hipérboles em torno de seus eixos (quádricas de revolução).
– O tratado Sobre Espirais descreve a curva hoje conhecida como Espiral
de Arquimedes (em coordenadas polares tem equação r= k?) e pela primeira vez
determina a tangente a uma curva que não seja o círculo.
– De forma inédita, Arquimedes apresenta os primeiros conceitos de limites
e cálculo diferencial, cerca de 19 séculos antes de Newton.
Enfim, são tantos os feitos, que Leibniz se faz apropriado. “Quem entende
Arquimedes e Apolônio, admirará menos as realizações dos homens mais célebres
de épocas posteriores”.
Jacir J. Venturi, diretor de escola, professor da UFPR por 25 anos, da PUC-PR por 11 anos. Cidadão
Honorário de Curitiba. Autor dos livros Álgebra Vetorial e Geometria Analítica e Cônicas e Quádricas.
Site: www.geometriaanalitica.com.br